初一数学错题记录

初一

Markdown 中输入数学公式

带圆圈的数字

1. 已知点 A，B 在数轴上分别表示有理数 a，b, 则|AB|表示 A，B 两点之间的距离.
   如图 1，当 A，B 两点中有一点在原点时(假设点 A 在原点)， $AB=|6|$ ；
   如图 2，当 A，B 两点都在原点右侧时， $AB=|b|-|a|$ ；
   如图 3，当 A，B 两点都在原点左侧时， $AB =b-a$ ；
   如图 4，当 A，B 两点在原点两侧时， $AB=|a|+|b|$ 。

• 已知数轴上点 C，D，E 分别表示 10，8，7，求 |CD|,|DE|。
• 若点 M 表示的数是一 5，点 N 表示的数是 $x$ ，且 $MN=2025$ ，则的值是多少?

2. 夏令时时，芝加哥与北京的时差是 $-13$ 小时(负数表示同一时刻芝加哥比北京晚)，小明 2025 年 4 月 2 日 3:00 乘坐飞机从北京起飞，7 小时后到达芝加哥，此时芝加哥的时时间为：（ ）

3. 正六边形 ABCDEF(每条边都相等)在数轴上的位置如图所示, 点 A，F 表示的数分别为-2 和-1， 现将正六边形 ABCDEF 绕着顶点顺时针在数轴上连续翻转， 翻转 1 次后, 点 E 所表示的数为 0，连续翻转多次后数轴上 2024
   所对应的点是 ( )
   A. C 点　　　 B. D 点　　　C. E 点　　　 D. F 点

4. 如图，某点从 数轴上的 A 点出发，第 1 次向右移动 1 个单位长度至 B 点，第 2 次 从 B 点向左移动 2 个单位长度至 C 点，第 3 次从 C 点向右移动 3 个 单位长度至 D 点，第 4 次从 D 点向左移动 4 个单位长度至 E 点，… …，以此类推，经过 n 次移动后该点到原点的距离为 50 个单位长 度，则符合条件的 n 的和为 ( )
   A.205　　　 B.202　　　 C.199　　　 D.196

5. 如图 1，A，B，C 是数轴上从 左到右排列的三个点, 表示的数分别为-5，b，1，某同学将刻度尺 按图 2 的方式放置，使刻度尺上的数字 0 对齐数轴上的点 A，发 现点 B 对齐刻度 1.8 cm，点 C 对齐刻度 5.4 cm，则数轴上点 B 所表 示的数 b 为（ ）
   A. -3　　　 B. -2　　　 C. -1　　　 D. 3
   

6. 有理数 a，b 对应 的点在数轴上的位置如图所示：
   

   (1) 在数轴上分别用 A，B 两点表示-a，-b。

   (2) 若数 b 与 -b 对应的点相距 20 个单位长度，则数 b 与 -b 分别是 什么?

   (3) 在(2)的条件下，若数 a 对应的点与数 b 对应的点相距 15 个单 位长度，则数 a 与 -a 是多少?

7. 如果 $x$ 为有理数，式子 $2 024-|x+4|$ 存在最大值，那么这个最大值是（ ）
   A. 2 024　　　 B. 2 023　　　 C. 2 022　　　 D. 2 021

8. 若|a|+|b|= 10，且 a，b 都是奇 数，则满足条件的 a 与 b 共有( )对。

9. 我们知道 $|x|$ 的几何意义是在数轴上数 $x$ 对应的点与原点 的距离，即| $x$ |=| $x-$ 0|，这个结论可以推广为| $x$ -a|表示在数轴上数 $x$ ，a 对应的点之间的距离，绝对值的几何意义在解题中有着广泛 的应用。
   （1）【例】已知| $x$ -2|= 5，求 $x$ 的值。解：因为数轴上与表示 2 的点的距离为 5 的点表示的数为 7 或 -3， 所以 $x$ = 7 或 -3。
   （2）仿照上述解法，求下式中 x 的值：| $x-$ ( $-1$ )|= 3。
   （3）求|x-(-2)|+|x-3|的最小值。

10. 若|a-2|+|b-1|= 0，则 a+b 的值为：（ ）

11. 甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱，合伙订购某种商品若干件，商品买来后，乙比甲少 2 件，丙比甲多拿了 4 件，最后结算时，三人要求按所得商品的实际数量付钱，进行多退少补. 已知丙要付给甲 20 元，那么丙还应付给乙            元。

12. 数轴上点 A 对应的数为 1，另有一动点 P 从点 A 出发, 按如下规律运动：
    1 秒后运动到点 P，点 P 在数轴上对应的数为 p，
    2 秒后运动到点 P，点 P 在数轴上对应的数为 2p，
    3 秒后运动到点 P, 点 P; 在数轴上对应的数为 3p，
    依照此规律，t 秒后运动到点 p _t ，点 p _t 在数轴上对应的数为 tp，
    (1) 若 p = $\frac{1}{4}$ ，求点 p ₃ ，p ₄ ，p ₅ ；分别到点 A 的距离之和 。
    (2) 若 $\frac{1}{3}$ $\leq$ p $\leq$ $\frac{1}{2}$ ，求点 p ₁ ，p ₂ ，p ₃ ；分别到点 A 的距离之和；
    (3) 设动点 P 运动 20 秒后，将 p ₁ ，p ₂ ，p ₃ ， $\ldots$ 到点 A 的距离之和记为 S，当 p 在某一个范围内变化时，S 始终为定值，请求出这个 p 的范围及 S 的定值。

13. 定义“数对映射” $f(x,y)$ ，对于任意有理数 x，y ，若 x ≥ y，则 $f(x，y)$ =(x-1)+y；若 x < y ，则 $f(x,y)$ = x+(y-2)。例： $f(0,1)$ = 0+(1-2)= -1。
    （1）计算： $f(4,-2)$ =               ； $f(4,8)$ =                 ；
    （2）如果 $f(m,3)$ = 3，求 m 的值。
    （3）在（2）的基础上，若 $f(n,m)$ =|n|，求整数 n 的所有可能值。

14. 求： $\mid \frac{1}{3}x + 2 \mid + \mid 3x - 6 \mid$ 的最小值。

15. 当 $x$                       时， | $2x$ -1|+| $3x$ -2|+| $4x$ -3|+| $2x$ -4| 的式子取得最小值。

16. (2024 浙江金华东阳期末)如图所示的是一个二阶幻圆模型, 现将 -1，2，-3，4，-5，6，-7，8 分别填入圆圈
    内, 使横纵向以及内外圆圈上的 4 个数字之和都相等, 则 a+b 的 值是              

17. (2025 山东泰安泰山期中, ★★☆) 1+(-2)+(+3)+(-4)+(+5)+(-6) +…+(+199)+(-200)+(+201)的结果是( )
    A. 0　　　 B. -1　　　 C. -100　　　 D. 101
18. 如图, 在数轴上，点 A 表示 1，现将点 A 沿数轴做如下移动：第 1 次将点 A 向左移动 3 个单位长度到达点 $A_1$ ， 第 2 次将点 $A_1$ 向右移动 6 个单位长度到达点 $A_2$ ，第 3 次将点 $A_2$ 向 左移动 9 个单位长度到达点 $A_3$ ，第 4 次将点 $A_3$ 向右移动 12 个单位 长度到达点 $A_4$ ，……，按照这种规律移动下去，至少移动              次后该点到原点的距离不小于 14。

19. 计算：1- $\frac{5}{6}$ + $\frac{7}{12}$ - $\frac{9}{20}$ + $\frac{11}{30}$ - $\frac{13}{42}$ + $\frac{15}{56}$ - $\frac{17}{72}$ + $\frac{19}{90}$ - $\frac{21}{110}$ + $\frac{23}{132}$ 的结果。

20. (2025 江西萍乡期中, ★★★)已知有理数 a ≠1，我们把称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数是 $\frac{1}{1-2}$ = -1，-1 的差倒数是 $\frac{1}{1-(-1)}$ = $\frac{1}{2}$ 。如果 $a_1$ = -2， $a_2$ 是 $a_1$ 的差倒数， $a_3$ 是 $a_2$ 的差倒数， $a_4$ 是 $a_3$ 的差倒数，……，依此类推，那么 $a_100$ 的值是( )。
    A. -2 　　 B. $\frac{1}{3}$  　　　 C. $\frac{3}{2}$  　　　 D. $-\frac{15}{2}$

21. (2025 福建师大附中期中，★★★)观察下列三行数，并解答后面的问题：
    ① -2，4，-8，16，-32，…；
    ② 1，-2，4，-8，16，…；
    ③ 0，-3，3，-9，15，….。
    (1)根据第 ① 行数的规律，写出其中第 n 个数：                    
    (2)根据排列规律，分别写出上面三行数的第 7 个数，并计算这三个数的和。
    (3)设 x，y，z 分别表示第 ①②③ 行数的第 2024 个数，求出 x+y+z 的值。

22. 计算：36x $(-99\frac{17}{18})$ 的值

23. 计算： $\frac{1}{36}$ ÷ $(\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{12}$ - $\frac{7}{18}$ - $\frac{1}{36})$

24. (2025 河南信阳新县期中)生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型。在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型 $2^n$ 来表示，即 $2^1$ = 2， $2^2$ = $2^3$ = 8， $2^4$ = 16， $2^5$ = 32，……，请你推算 $2^1$ + $2^2$ + $2^3$ + $2^4$ + $2^5$ +…+ $2^{2024}$ 的个位上的数字是 ( )。
    A. 6　　　 B. 4　　　 C. 2　　　 D. 0

25. (2024 山东济宁中考, ★★☆)已知 a 2-2 b+1 = 0，则 $\frac{4b}{a^2+1}$ 的值是                    。

26. （教材变式 P121 例 2](★★☆)有一列数 1，-2，4，-8，16，-32，64，-128，…，若这一列数中某三个相邻的数的和是 768，则这三个数分别是多少？

27. 一列火车匀速驶过一座桥，火车完全通过桥共用了 50 s，整列火车在桥上的时间为 30 s，已知桥长 1200 m，求火车的车身长和速度。

28. (2025 江苏南通如皋期末)某商店销售一批服装一段时间后降价促销，利润率降低了 15 个百分点，降价前销售 16 件与降价后销售 18 件的销售额相同，降价前的利润率是                 。

29. 若关于 x 的方程 5x-3 = kx+4 有整数解，则满足条件的所有整数 k 的和为 ( )
    A：20　　　 B：6　　　 C： 4　　　 D：2

30. 定义: 已知 $x_0$ ， $y_0$ 分别是关于 x，y 的方程的解，若满足：| $x_0$ - $\frac{1}{2}y_0$ l = k (k 为正数)，则称前者是后者的“k 属方程”，例如：方程 x-2 = 0 的解是 x = 2，方程 2y = 6 的解是 y = 3，且満足|2 - $\frac{1}{2}$ x3|= $\frac{1}{2}$ ，则称方程 x-2 = 0 是方程 2y = 6 的“ $\frac{1}{2}$ 属方程”。
    (1) 下列方程是方程 3y-1 = 5 的“1 属方程”的是 ( )(请填写正确的序号)：
    ① 2x = 0； ② 3+x = 2(x+1)； ③ 3-2x = 3x-7；
    (2) 若关于 x 的方程 $\frac{a+3x}{2}$ - x = 2 是关于 y 的方程 3(2-y)= 4a-4(y-1)的“2 属方程”，求整数 a 的值；
    (3) 若对于任何正数 m，关于 x 的方程 2(x-3)= 4m-9 都是关于 y 的方程 3y+2n = 4mn 的“m 属方程”，求 n 的值。

31. (2025 山东青岛李沧期末)为倡导全民节水，某城市居民年生活用水实行三段式阶梯计价，每一阶梯都有相对应的价格，具体数据如表:

    收费方式	年用水量/ $m^3$	价格/元 $m^3$
    第一阶梯	0~180	4.5
    第二阶梯	180~240	6
    第三阶梯	240 以上	8

    (注：每一阶梯年用水量不包含最小值，包含最大值)
    (1) 小明家年用水量为 100 $m^3$ ，需缴水费_              元；丽丽家年用水量为 220 $m^3$ ，需缴水费            元；芳芳家年用水量为 245 $m^3$ ，需缴水费                元。
    (2) 设某户居民的年用水量为 x ( $m^3$ )，用含 x 的代数式表示 x 位于不同的阶梯时，相应的总费用。

    收费方式	年用水量 x/ $m^3$	总费用/元
    第一阶梯	0~180	①
    第二阶梯	180~240	②
    第三阶梯	240 以上	③

    (3) 已知某户居民一年的水费为 1 110 元，这户居民的年用水量是多少 $m^3$ ？

32. (2025 河南驻马店汝南期末, ★★☆)如图所示的是某市民健身广场的平面示意图，它是由 6 个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形 A 的边长是 1 米。设图中最大的正方形 B 的边长是 x 米。
    (1) 请用含 x 的代数式分别表示出正方形 F 的边长 =       ，正方形 E 的边长 =           ，正方形 C 的边长 =            。
    (2) 长方形相对的两边是相等的(如图中的 MN = PQ)，根据等量关系可求出 x =            。
    (3) 现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要 10 天、15 天完成。如果两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工 2 天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，试问乙队还要多少天完成？甲、乙两个工程队各铺设多少米？
    

33. (2025 河南漯河期中)如图，已知甲、乙两人在一个 200 米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的 4 段，即两条直道和两条弯道的长度相同，甲平均每秒跑 4 米，乙平均每秒跑 6 米, 甲、乙两人分别从 A，C 两处同时相向出发。
    (1) 首次相遇后，又经过多少时间他们再次相遇？在哪一段跑道上？
    (2) 若首次相遇后，甲、乙两人决定同方向练习跑步，问甲、乙两人经过多少时间再次相遇？在哪一段跑道上？
    

34. 一列火车匀速行驶，通过一条长 300 m 的隧道需要 20 s 的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下照射，灯光照在火车上的时间是 10 s。求这列火车的长度。
    车速 × 过桥时间=车长+桥长(完全通过桥)。

35. 我们规定，若关于 x 的一元一次方程 ax = b(a≠0) 的解为 x = a-b，则称该方程为“天心方程”。例如：2x = $\frac{4}{3}$ 的解为 x = $\frac{2}{3}$ ，而 2 $-\frac{4}{3}$ = $\frac{2}{3}$ ，则该方程 2x = $\frac{4}{3}$ 就是“天心方程”，请根据上述规定解答下列问题：
    (1) 一元一次方程 2x = 4           _(填“是”或“不是”)“天心方程”。
    (2) 若关于 x 的一元一次方程 4x = c 是“天心方程”，则 c =        
    (3) 若关于 x 的一元一次方程 3x = a+ab(a≠0) 是“天心方程”，且它的解为 x = a，求 a、b 的值。
    (4) 若关于 x 的一元一次方程 x = 3m-mn 和关于 y 的一元一次方程 $-3y$ = mn-2n 都是“天心方程”，求代数式 2(mn-3n)+ $\frac{1}{3}$ (33m-8mn) - $\frac{1}{3}$ 的值。

36. (2025 四川成都月考)(12 分)某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动, 现有三种收费方式，详情见下表：

    收费方式	详细介绍
    日卡	日卡一张 30 元
    会员卡	办卡需 210 元，每活动 1 小时收费 4 元
    普通卡	进入文体中心要收取 10 元/日，可免费文体活动 2 小时，后续收费 5 元/小时

    (注：不足一个小时的按一小时计算)
    (1) 小明打算这周六去文体中心活动 6 小时，最少需要花费                  元。
    (2) 小明打算一个月(30 天)都去文体中心活动，每天活动的时间为 $x$ 小时( $x$ 为正整数, 且 $x$ ≥2)。
    ① 如果小明选择办会员卡，那么一个月需要花费            元；如果小明选择办普通卡，那么一个月需要花费                元。(用含 $x$ 的代数式表示)
    ② 对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式, 哪种更划算？

37. (2023 山东青岛中考)一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，其展开图如图 ① 所示，在一张不透明的桌子上，按如图 ② 所示的方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是 ( )
    
    A. 31　　　 B. 32　　　 C. 33　　　 D.34

38. 【新课标·模型观念】如图所示：
    
    (1) 观察：如果每过两点画一条直线，
    那么图 ① 最多可以画                  条直线；
    图 ② 最多可以画               条直线；
    图 ③ 最多可以画              条直线。
    (2) 探索归纳：如果平面上有 n(n ≥3)个点，且每 3 个点均不在同一条直线上，那么最多可以画               条直线(用含 n 的式子表示)。
    (3)解决问题：某校七年级 6 个足球队准备进行单循环赛(即每两队之间赛一场)，预计全部赛完共需              场比赛。

39. (2025 宁夏中卫三中期末)点 O 为直线 AB 上一点，将一直角三角尺 OMN 的直角顶点放在 O 处，射线 OC 平分，∠ MOB。
    (1)如图 1，若 ∠ AOM = 40°，则 ∠ CON =         。
    (2)将图 1 中的直角三角尺 OMN 绕顶点 O 顺时针旋转至图 2 的位置，一边 OM 在直线 AB 上方，另一边 ON 在直线 AB 下方。
    ① 试探究 ∠ AOM - ∠ BON 的结果是不是定值。若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由。
    ② 当 ∠ AOC = 3∠ BON 时，求 ∠ BON 的度数。
    

40. 如图 1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图 2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为 A，B 两点，两脚脚跟位置分别为 C，D 两点，定义 A，B，C，D 平面内 O 为定点，将手脚运动看作绕点 O 进行旋转:
    
    (1) 填空：如图 2，A，O，B 三点共线，且 ∠ AOC = ∠ BOC，则 ∠ AOC =            ；
    (2) 第三节腿部运动中，如图 3，欢欢发现，虽然 A，O，B 三点共线，却不在水平方向上，且 ∠ AOD：∠ BOC = 6：5，她经过计算发现， $\frac{∠AOC-20 ° }{∠BOD+12 °}$ 的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
    (3) 第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且 ∠ COD = 30°，开始运动前 A，O，B 三点在同一水平线上，OA，OB 绕点 O 顺时针旋转，OA 旋转速度为 50°/s，OB 旋转速度为 25°/s，当 OB 旋转到与 OD 重合时，运动停止，如图 4。
    ① 运动停止时，直接写出 ∠ AOD =                   
    ② 请帮助乐乐求解运动过程中 ∠ AOC 与 ∠ BOE 的数量关系。

41. 如图，现有若干片相同的拼图，其凸出的部分是直径为 4cm 的半圆。若 4 片拼图紧密拼成一排时的长度为 38cm，则 n 片拼图紧密拼成一排时的总长度为               cm。(用含 n 的代数式表示)
    

42. 已知 $ax^2$ $+bx$ $+c$ ( $a≠0$ )是关于 $x$ 的多项式，记为 $P(x)$ 。我们规定： $P(x)$ 的导出多项式为 $ax$ + $2b$ , 记为 $Q(x)$ 。例如：若 $P(x)$ = $3x^2$ $-2x$ $+1$ ，则 $P(x)$ 的导出多项式 $Q(x)$ = $3x-$ $2×2$ = $3x-$ $4$ 。
    根据以上信息, 回答问题:
    （1）若 $P(x)$ $=x^2$ $-2x$ ，则它的导出多项式 $Q(x)$ =                ；
    （2）设 $Q(x)$ 是 $P(x)$ 的导出多项式。
    ① 若 $P(x)$ $=2ax^2$ $+4$ $(2x$ $-1)$ ，关于 $x$ 的方程 $Q(x)$ $=0$ 的解为 $x=$ 2，求 $a$ 的值；
    ② 已知 $P(x)$ $=(2a$ $-2)$ $x^2$ $-3x$ $+2$ 是关于 $x$ 的二次多项式，且关于 $x$ 的方程 $Q(x)$ $=-x$ 的解为整数，求正整数 $a$ 的值。

43. 如图 1，数轴上的点 A 表示的数为 a，B 表示的数为 b，且 $|a$ $+2|$ $+(b$ $-8$ $)^2$ $=0$ 。点 C 是线段 AB 的中点。
    （1）点 C 表示的数是               ；
    （2）若动点 M 从点 A 出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点 N 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，点 M, N 同时出发，当点 N 到达点 A 时，两动点同时停止。设运动时间为 t 秒，则：
    ① 点 M、N 表示的数分别是           、              (用含 t 的代数式表示)；
    ② 若在运动过程中，存在 CM $=3$ CN，请求出 t 的值。
    [方法迁移]
    （3）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图 2，∠AOB = 80°，OC 平分 ∠AOB。射线 OM 从 OA 出发，以每秒 1° 的速度绕点 O 顺时针旋转，射线 ON 从 OB 出发，以每秒 2° 的速度绕点 O 逆时针旋转。射线 OM，ON 同时出发，当 ON 到达 OA 时，运动同时停止。设旋转时间为 t 秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得 ∠COM 和 ∠CON 两个角中，其中一个角是另一个角的 3 倍，请求出所有符合题意的 t 的值。
    

44. 如图 1，已知 AB//CD，∠B = 30°，∠D = 120°。
    
    （1 ) 若 ∠BEF = 60°，则 ∠EFD 的度数为          ；
    （2) 请探索 ∠BEF 和 ∠EFD 之间满足的数量关系，并说明理由；
    （3) 如图 ②，已知 EP 平分 ∠BEF，FG 平分 ∠EFD，反向延长 FG 交 EP 于点 P，求 ∠P 的度数。

45. 新定义：若关于 $x$ 的一元一次方程 $ax$ $+b$ = 0(a ≠0)的解是 $x_0$ ，一个关于 $y$ 的方程有解 $y_0$ 。满足 $x_0$ + $y_0$ = 100，则称关于 $y$ 的方程为这个一元一次方程的 “满分方程”。例如：一元一次方程 $3x$ $-2x$ $-99$ = 0 的解是 $x_0$ = 99，方程 $y^2$ +1 = 2 的所有解是 $y$ = 1 或 $y$ = $-1$ ，当 $y_0$ = 1 时， $x_0$ + $y_0$ = 100，则 $y^2$ +1 = 2 为一元一次方程 $3x$ $-2x$ $-99$ = 0 的 “满分方程”。

    （1）已知关于 $y$ 的方程：① $|y|$ = 2，② $2y$ $-2$ = 0，以上哪个方程是一元一次方程 $x-$ $102$ = 0 的 “满分方程” 请直接写出正确的序号              
    （2）若关于 $y$ 的方程 $|2y$ $-1|$ $+1$ = 5 是关于 $x$ 的一元一次方程 $x-$ $\frac{2x-2a}{3}$ = $a$ $+1$ 的 “满分方程”，请求出 $a$ 的值;
    （3）如关于 $y$ 的方程 $2m|y$ $-50|$ $+\frac{m(y-1)}{45}$ = $m$ $+n$ 是关于 $x$ 的一元一次方程 $mx$ $+45n$ = $54m$ 的 “满分方程”， 请直接写出 $m$ 与 $n$ 之闸的数量关系。

46. 直线 AB，CD 相交于点 O，∠ EOF = 90°，射线 OM 平分 ∠ COF。(本题中所有角的度数均不超过 180°)
    
    （1） 若直线 AB 与直线 CD 垂直(即 ∠ AOC = ∠ BOC = ∠ BOD = ∠ AOD = 90°)。
    ① 将 ∠ EOF 绕点 O 旋转至图 1 的位置，∠ BOE = 40°，∠ AOM =           。
    ② 将 ∠ EOF 绕点 O 旋转至图 2 的位置，∠ AOM = a(135° < a < 180°)，求 ∠ BOE 的度数(用含 a 的代数式表示)。
    （2 ) 如图 3，若 ∠ BOC = 60°，将 ∠ EOF 绕点 O 顺时针旋转一周，请直接写出在整个旋转过程中 ∠ AOM 与 ∠ BOE 所有的数量关系。

47. (2024 山东济南高新区期末, ★★★)将相同的长方形卡片按如图所示的方式摆放在一个直角上, 每个长方形卡片长为 2, 宽为 1, 摆放 1 个时, 实线部分的长为 3, 摆放 2 个时, 实线部分的长为 5, 摆放 3 个时, 实线部分的长为 8,……, 依此类推, 摆放 2 023 个时, 实线部分的长为         

48. 一个商店以同样的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 20%，另一件亏损 20%，卖这两件衣服的利润率为                 

49. (2024 山东烟台中考)《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作。书中记载这样一道题：“今有女子不善织, 日减功迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30 天完工，问一共织了多少布？( )
    A45 尺　　　 B.88 尺　　　 C.90 尺 　　 D.98 尺

50. (2024 江苏扬州中考)1202 年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和，则在这一列数的前 2 024 个数中，奇数的个数为 ( )
    A.676　　　 B.674　　　 C.1 348　　　 D.1 350

51. (2024 北京中考)联欢会有 A，B，C，D 四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始。每个节目的演员人数和彩排时长(单位: min)如下：

    节目	A	B	C	D
    演员人数	10	2	10	1
    彩排时长	30	10	20	10

    已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔(不考虑换场时间等其他因素)。若节目按“A-B-C-D”的先后顺序彩排，则节目 D 的演员的候场时间为         min；若使这 23 位演员的候场时间之和最小，则节目应按         的先后顺序彩排。

下学期

1. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第 2012 个点的坐标为（　 　）
   

2. 已知 AB∥CD，点 M、N 分别是 AB、CD 上两点，点 G 在 AB、CD 之间，连接 MG、NG．

   

   （1）如图 1，若 GM⊥GN，求 ∠AMG+∠CNG 的度数；

   （2）如图 2，若点 P 是 CD 下方一点，MG 平分 ∠BMP，ND 平分 ∠GNP，已知 ∠BMG＝30°，求 ∠MGN+∠MPN 的度数；

   （3）如图 3，若点 E 是 AB 上方一点，连接 EM、EN，且 GM 的延长线 MF 平分 ∠AME，NE 平分 ∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求 ∠AME 的度数。

3. 如图 1，点 E 是直线 AB 上一点，F 是直线 CD 上一点，，且 $ AB||CD$ 。
   

   (1) 求证：∠P = ∠PEA+∠PFC；

   (2) 如图 2，若 ∠PFC = ∠PFQ，FQ 与 ∠AEP 的平分线交于点 Q，与 PE 交于点 M，若 ∠EMF = 120 ° ，求 ∠P+∠Q 的度数；

   (3) 如图 3，EQ 平分 ∠AEP，FM 平分 ∠PFD，FN//EO，当 ∠P 的大小不变时，下列结论：

   ① ∠PFC+∠NFC 的度数不变；

   ② ∠MFN 的度数不变。

   请你写出正确的结论并说明理由。

4. 如图：AB// CD ，直线 PQ 与 AB 交 于 点 E，与 CD 交于点 F。M 是 AB 上方一点且 PE 平分 ∠MEB，N 是 CD 上一点，连接 ME，MN, 交 AB 于点 H。
   

   (1) 若 ∠PEB = 58°，∠NHE = 109°，求 ∠M 度数；

   (2) 如图 2、过点 N 作 ∠CNM 的平分线交直线 AB 于点 $J$ ，交直线 PQ 于点 K。试探究 ∠NME 与 ∠NKF
   之间的数量关系；

   (3) 如图 3，连接 HF，若 ∠NFH = 60°，∠HEM = 40°。将线段 HF 绕着点 F 以每秒 1° 的速度逆时针旋转，将线段 ME 绕着点 E 以每秒 2° 的速度顺时针旋转，线段 ME 旋转一周停止。经过多长时间线段 ME 与线段 HF 平行，请直接写出此时的时间 $t$ ；

5. 在同一平面内，有直线 $a_1$ ， $a_2$ ， $a_3$ ， $a_4$ ，…， $a_n$ ，已知 $a_1$ ⊥ $a_2$ ， $a_2$ // $a_3$ ， $a_3$ ⊥ $a_4$ ， $a_4$ // $a_5$ ，……，按此规律，若 $a_1$ // $a_n$ 则 n 的值可以是　  ( )

   A.42　　 B.47　　 C.63　　 D.85

6. 【百廿风华，公勤仁勇；湖南师大附中始终以家国情怀为己任，以教育兴邦为使命，历经百廿风雨，培育万千英才！】我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点 A( $x_1$ ， $y_1$ )、B( $x_2$ ， $y_2$ )，若点 P（ $x_3$ ， $y_3$ ）
   $\begin{cases}x_3 = \frac{x_1 + x_2}{2} \\y_3 = \frac{y_1 + y_2}{2}\end{cases}$ 则把点 P( $x_3$ ， $y_3$ )称作 A( $x_1$ ， $y_1$ )、B( $x_2$ ， $y_2$ )两点的 “ 附中点”；且把数值 M = $x_1x_2$ + $y_1y_2$ 称作 A( $x_1$ ， $y_1$ )、B( $x_2$ ， $y_2)$ 两点的“唯一值”。根据该约定，完成下列各题。

   (1) 若点 P(1，3)是 $A($ $\sqrt[3]{-8}$ $，s)$ 、 $B(t$ ， $\sqrt[3]{9})$ 两点的“附中点”，则 t =                   ，s =             ，A 、 B 两点的“唯一值”M =            （将正确的答案填写在相应的横线上）；

   (2) 已知点 R(9，11)，且点 P 是 A(x+y，−2)、B(4，x − y)两点的“附中点”，先将点 P 向右平移 3 个单位，再向上平移 11 个单位得到点 Q，若直线 RQ 与坐标系中其中一条坐标轴平行，A、B 两点的“唯一值”M = 36，求点 P 的坐标；

   (3) 已知点 P(a+1， $\frac{9}{2}a-3$ )是 A(m-n，2)、B(1，2 m+3 n)两点的“附中点”，M 是 A、B 两点的“唯一值”。

   ① 请用含有字母 a 的式子表示“唯一值”M；

   ② 若无论 a 取何值，等式 km+tn − M = 0 始终成立（其中 k，t 是常数），求代数式 $k^3$ $−\sqrt[2]{t}$ 的值。

7. （本小题 10 分）新定义：如果两个角的和为 200°，则称这两个角互为开心角。
   

   (1) ∠1 = 60°，若 ∠1 和 ∠2 互为开心角，∠2 =                  °；

   (2) 如图 1，射线 OC 平分 ∠ AOB，射线 OD 在 ∠ COB 内部，∠ DOB = 16°，若 ∠ COB 和 ∠ A O D 互为开心角，求 ∠ COD 的大小；

   (3) 如图 2，∠ AOB = 60°，射线 OM 绕着点 O 从位置 OA 开始，以每秒 6° 的速度顺时针旋转，同时射线 ON 绕点 O 从射线 OB 位置开始，以每秒 4° 的速度逆时针旋转。设旋转的时间为 t 秒(0 < t ≤30)，在旋转过程中，三条射线 OM、ON、OB 中任意两条射线形成夹角（0°≤ 夹角 ≤180°），当有两个夹角互为开心角时，求出 t 的值。

8. 已知关于 xy 的二元一次方程 ax+by = c。

   (1) $\text{若}\begin{cases}x =1\\y =2\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x =-1\\y = 3\end{cases}$ 都是二元一次方程的解，求 6a-3b+2024 的值;
   (2) ① 若 a = $\sqrt[ ]{2}$ ，b = 1，c = 2，求二元一次方程的整数解：
   ② 当 a 每取一个值，都可得到一个方程，若 a+b-c = 4，3a-b-c = 10，求这些方程的公共解；
   (3)当 b = 1，a < 0 $\text{且}\begin{cases}x = 2\\y = 0\end{cases}$ 是二元一次方程的解时， $\text{若}\begin{cases}x = t\\y = m-2n\end{cases}$ 也是方程的解，其中 m、n 满足 m+n = a且-2a > n > m，求 t 的取值范围。

9. 对于 x，符号{x}表示不大于 x 的最大整数，如 [3.14] = 3，[ $-7.67$ ] = $-8$ 则满足关系式 [ $\frac{2x-3}{5}$ ] = $2$ 的 $x$ 整数值的个数是（ ）
   A．1 个　　　 B．2 个　　　 C．3 个　　　 D .4 个

10. 定义：不妨约定，在平面直角坐标系中，A（ $x_1$ ， $y_1$ ），B（ $x_2$ ， $y_2$ ），则 P（ $\frac{x_1+x_2}{6}$ ， $\frac{y_1+y_2}{6}$ ）叫作 AB 的“郡点”， 且把数值 M = $x_1x_2$ + $y_1y_2$ 叫作 AB 的“郡值”。
    （1）若 P（2，1）是 A（3，a），B（b，2）的“郡点”，则 a =        ，b =         ，AB 的“郡值”为          ；
    （2） 若 P（a+1， $-a$ ）是 A（x+y， $-2$ ），B（2， $-2$ +2y）的“郡点”，且 M 为 AB 的“郡值”，且无论 a 为何值， 等式“xk-2yt+M = 0 ”恒成立，求 k，t 的值；
    （3）若 P（ $\frac{a+3}{6}$ ， $\frac{a+1}{6}$ ） 是 A（a+2，2b），B（b，a-1）的“郡点”，且 AB 的“郡值”M = 6。若关于 x 的方程 x- $\frac{1}{2}m$ = 2n 的解在关于 x 的不等式组 $\text{若}\begin{cases}x-b ≥m-n\\ax-2a ≤m+3n\end{cases}$ 范围内，且所有符合条件的正整数 n 之和为 9，求 m 的取值范围。

11. “地摊经济”已成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息：甲商品每件售价为 90 元，乙商品每件售价为 10 元，销售 1 件甲商品和 4 件乙商品可获得利润 45 元，销售 2 件甲商品和 3 件乙商品可获得利润 65 元。
    （1） 求甲、乙商品的进货价格；
    （2）小明共有 3500 元的资金用于购进甲、乙商品共 100 件进行销售，其中购进的乙商品至多比甲商品多 5 件，则小明共有哪几种购买方案，哪一种方案获利最大，最大利润是多少?

12. 如图，在平面直角坐标系中，A，B 坐标分别为 A(0, a)、B(b, a)，且 a，b 满足: $\sqrt[ ]{a-3}$ +|b-5|= 0，现同时将点 A，B 分别向下平移 3 个单位，再向左平移 1 个单位，分别得到点 A，B 的对应点 C，D，连接 AC，BD, AB。
    
    （1）求 C，D 两点的坐标及四边形 ABDC 的面积;
    （2）点 P 是线段 BD 上的一个动点，连接 PA，PO，当点 P 在 BD 上移动时(不与 B，D 重合)， $\frac{∠BAP+∠DOP}{∠APO}$ 的值是否发生变化，并说明理由；
    （3)已知点 M 在 y 轴上，连接 MB、MD，若 三角形 MBD 的面积与四边形 ABDC 的面积相等，求点 M 的坐标。

13. 定义：若 m，n 都是不为 0 的实数，且满足 m+n = mn，则称点 P（ $m$ ， $\frac{m}{n}$ ）为“爱心点”。
    （1）① 在点 A（2，3），B（-2，-3），C（2024，2023）中，是“爱心点 “ 的有           (填字母)；
    ② 若点 P（a，b）是“爱心点”，则 a， b 满足的关系式为                   ；
    （2）若 Q（s，t）是“爱心点”，且 s，t 分别是不等式组 $\begin{cases} 2(x-1) \le -5 \\ \frac{1-2x}{3} \lt x+k \end{cases}$ 的最大整数解和最小整数解，求 k 的取值范围；
    （3）已知 p，q 为有理数，且以关于 x，y 的方程组 $\begin{cases} x+2y=-\sqrt{3}p+q \\ 2x+y=\sqrt{3}p-3q \end{cases}$ 的解为坐标的点 M（x，y）是“爱心点”，求 p - q 的平方根。

14. 若不等式(组)① 的解集中的任意解都满足不等式(组)②，则称不等式(组)① 被不等式(组)②“包含”。共中不等式(组)① 与不等式(组)② 均有解。
    例如：不等式 x > 1 被不等式 x > 0“包含”。
    （1）下列不等式(组)中，能被不等式 x <-3“包含”的是                   。
    A. 3x-2 < 0　　　 B. -2x+2 < 0　　　 C.-19 < 2x <-6　　　 D. $\begin{cases} 3x<-8 \\ 4-x<3 \end{cases}$
    （2）若关于 x 的不等式 a-2 < x < -2a-3 被 x > 2a+3“包含”，若 M = 5a + 4b + 2c 且 a + b + c = 3，3a + b - c = 5，求 M 的最小值。
    （3）已知 2m + n = k，m - n = 3, m ≥ $\frac{1}{2}$ ， n < -1，且 k 为整数，关于 x 的不等式P：kx + 6> x + 4，Q：6(2x 一 1) ≤ 4x + 2，请分析是否存在 k，使得 P 和 Q 存在“包含”关系，且 Q 被 P “ 包含”，若存在，请求出 k 的值，若不存在，请说明理由。

15. 如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x 轴，垂足为 A，BC⊥y 轴，垂足为 C，已知 A(a，0)，C(0，c)，其中
    a，c 满足关系式 $(a-$ $6)^2$ $+$ $\sqrt{c+8}$ = 0。
    
    （1) 点 P 从 O 点出发沿折线 OA-AB-BC 的方向运动到点 C 停止，运动的速度为每秒 2 个单位长度，设点 P 的运动时间为 t 秒。
    ① 在运动过程中，当点 P 到 OC 的距离为 2 个单位长度时，t =        。
    ② 在点 P 的运动过程中，记 ΔPOC 的面积为 S，用含 t 的代数式表示 S;
    （2) 点 P 在射线 OA 上，点 M 为射线 OA 上一动点，∠CPM = 120°，连接 MC，作 CD 平分 ∠PCM 交 x 轴于点 D，直线 OA 上取点 N，连接 NC，使 ∠PNC = 2∠NMC, 当 ∠DCN = $\frac{1}{4}$ ∠DNC 时, 求 ∠DCM 的大小。

16. 我们规定：若非负实数 $a$ 的算术平方根 $\sqrt{a}$ 的整数部分为 m，则称 a 为“m 阶平方界数”。如 $\sqrt{3}$ 的整数部分为 1，则称 3 为“1 阶平方界数”。
    （1）若 a 为“2 阶平方界数”，则实数 a 的取值范围为                  ；
    （2）若 k 为“5 阶平方界数”，关于 x，y 的二元一次方程组 $\begin{cases} 2x - y = k\\ x + 3y = 4 \end{cases}$ 的解满足 $-3k$ - 24 < - 3x - 2y ≤ $\dfrac{1}{2}k$ - 37，求 k 的取值范围，并写出 k 取那些整数时二元—次方程组的解为整数；
    （3）在平面直角坐标系中点 P(x，y)的坐标满足下列二元一次方程组 $\begin{cases} tx - 2y = -1\\ 2x + ty = -11 + 5t \end{cases}$ (其中 t ≠ 士 2)，将点 P 向下平移 20 个单位长度后对应点为点 $P_1$ ，已知点 $P_1$ 在第三象限且点 $P_1$ 到 x 轴的距离为 m 阶平方界数”，若满足上述条件的 y 的整数值有且仅有 9 个，求 m 的值和 t 的取值范围。(提示: $(m$ $十1)^2$ = $m^2$ 十 2m 十 1)

17. 已知 AB//CD，BE 平分 ∠ABC，CE 平分 ∠BCD，BE 的延长线交 CD 于点 F，过点 F 作 FG⊥BF，交 BC 的延长线于点 G。
    
    （1）如图 1，求证：EC//FG；
    （2)已知点 M 在线段 BC 上, 点 N 在射线 FG 上，且 ∠BEM = k∠MEN，连接 EG，若有 ∠NGE = k∠NEG 成立。
    ① 如图 2，当 k = 2 且点 N 在线段 FG 上时，求 ∠MEG 的度数；
    ② 请用含有 k 的代数式表示出 ∠MEG 的大小。

18. 如图，一个粒子在第一象限内及 x 轴、y 轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点 0，第二分钟，它从点(1，0)运动到点(1，1)，而后它接着按图中箭头所示在与 x 轴，y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动 1 个单位长度，那么在第 2024 分钟时，这个粒子所在位置的坐标是 （     ）

    ![image-20260817093836185](https://easyimg.weito.top:2053/i/2026/08/17/fionsa-0.png)
    A. （44，5）　　　 B. （5，44）　　　 C.（44，0）　　　 D.（0，44) 
    

19. 如图，点 C 为直线 AB 外一动点，AB = 8，连接 CA，CB，点 D，E 分别是 AB，BC 的中点，连接 AE，CD 交于点 F，当四边形 BEFD 的面积为 6 时，线段 AC 长度的最小值为            。
    

20. 师傅打算把一个长、宽、高分别为 16cm，4cm，8cm 的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是            cm。

21. 本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读与思考”栏目中，介绍了《中国古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，意思是：如果一只公鸡值 5 个钱，一只母鸡值 3 个钱，3 只小鸡值 1 个钱，现用 100 个钱，买了 100 只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
    小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题。
    （1）小天提出的问题是：若公鸡买了 8 只，则母鸡、小鸡各买了多少只？
    （2）小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了 x 只，y 只，z 只，依题意得到方程组 $\begin{cases} x+y+z = 100 ① \\ 5x+3y+\dfrac{1}{3}z = 100 ② \end{cases}$ 把 ②x3-①，消去 z，得到一个二元一次方程 7x+4y = 100。小河说:“由于 $\begin{cases} x= -100 \\ y = 200-7t \end{cases}$ (t 为整数)，根据题意，由 x，y 的取值范围可以求出 t 的值，由此可求出 满足条件的公鸡、母鸡、小鸡的数量情况。
    现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整。

22. 已知点 A(0，a), 点 B(6，0)，且 a，b 满足 $\sqrt{a-4}+$ |a+b-6|= 0。平移线段 AB 至 DC，点 B 的对应点 C 的坐标为(-3,0)。
    （1）a =           、b =       
    （2）如图 1，点 P(m，n)为线段 CD 上一动点。
    ① 若 n = 2，则 m =        
    ② 若 $S_{△taABP}$ = 3 $S_{△APC}$ ，求 m 的值；
    （3）如图 2，点 M(-8，0)，N(0，-4)，点 F 从点 M 出发，以 2 个单位长度/秒的速度沿 x 轴向右运动，同时点 E 从点 N 出发，以 3 个单位长度秒的速度沿 y 轴向上运动。F 运动到轴右侧后，DF 与轴交于点 Q、设运动时间为 t 秒，若 $S_{△DQE}-$ $S_{△QOF}$ ≥35，请直接写出 t 的取值范围。
    

23. 我们定义：若二元一次方程组的解中的所有数都是不等式(组)的解，则称二元一次方程组被不等式（组）包含；否则称二元一次方程组不能被不等式（组）包含。如，方程组 $\begin{cases} x= 0 \\ x+y =2 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x= 0 \\ y = 2 \end{cases}$ ，方程组 $\begin{cases} x= 0 \\ x+y =4 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x= 0 \\ y = 4 \end{cases}$ ，不等式 x-3 < 0 的解集为 x < 3，因为 0，2 都在 x < 3 内，所以方程组 $\begin{cases} x= 0 \\ x+y =2 \end{cases}$ 被不等式 x-3 < 0 包含：因为 4 不在 x < 3 内，所以方程组 $\begin{cases} x= 0 \\ x+y =4 \end{cases}$ 不能被不等式 x-3 < 0 包含。
    （1）方程组 $\begin{cases} 2x-y= 5 \\ 3x+4y =2 \end{cases}$ 能否被不等式 x+1≥0 包含？说明理由：
    （2）)若关于 x, y 的方程组 $\begin{cases} 2x+3y-5a= -1 \\ x-2y+a =3 \end{cases}$ 被不等式组 $\begin{cases} 3(x-2) \ge x-4 \\ \frac{2x+1}{3} \gt x-1 \end{cases}$ 包含，求实数 a 的取值范围。
    （3）关于 x，y 的方程组 $\begin{cases} 2x+y= 6t \\ x-2y =-2t \end{cases}$ 不能被关于 x 的不等式组 $\begin{cases} x+t \gt 2 \\ 2x-t \le 4 \end{cases}$ 包含，且此不等式组恰有 2 个整数解，求/的取值范围。

24. 如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为(3,5)，(3.0).将线段 AB 向下平移 2 个单位长度，再向左平移 4 个单位长度，得到线段 CD，连接 AC，BD。
    （1）直接写出点 C、D 的坐标：                         
    （2）)若点 M、N 分别是线段 AB，CD 上的动点，点 M 从点 A 出发向点 B 运动，速度为每秒 1 个单位长度。点 N 从点 D 出发向点 C 运动，速度为每秒 0.5 个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，若两点同时出发，则几秒后 MN // $x$ 轴？
    （3）若点 H(0，m)是轴上一动点，当三角形 BDH 的面积小于 3 时，求 m 的取值范围。
    

25. 若关于 x 的一元一次不等式组的解集为 a ≤ x ≤ b 且 a + b = 0，则称这样的不等式组为“对称不等式组”，如关于不等式组 $\begin{cases} x-1 \ge -4 \\ x-1 \le2 \end{cases}$ 的解集为 -3 ≤ x ≤ 3，其中 -3 + 3 = 0，所以该不等式组为“对称不等式组”，请同学们根据“对称不等式组 “ 的定义完成以下问题：
    （1）)判断下列不等式组中哪些是“对称不等式组 “                  (请填序号)
    ①. $\begin{cases} x-1 \ge 3 \\ x-1 \le-5 \end{cases}$ 　　　 ②. $\begin{cases} x+5 \ge 1 \\ x-1 \le 3 \end{cases}$ 　　　 ③. $\begin{cases} x-1 \gt -3 \\ x-1 \le 1 \end{cases}$
    （2）若关于 x 的不等式组 $\begin{cases} \frac{x-2}{2} \ge a \\ x-b \le 1 \end{cases}$ 为“对称不等式组”且在解集范围内有 2025 个整数解，求整数 a，b 的值。
    （3） 若关于 x 的不等式组 $\begin{cases} ax-2b \ge 1 \\ 2ax+3b \le 2 \end{cases}$ 为“对称不等式组”且恰好有 7 个整数解，求 a，b 的值或取值范围。

26. 【知识初探】王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线。
    ① 如图 1，在正方形纸上画出一条直线 BC，在 BC 外取一点 P 过点 P 折叠纸片，使得点 C 的对应点 C 落在直线 BC 上(如图 2)，记折痕 DE 与 BC 的交点为 A，将纸片展开铺平:
    ② 再过点 P 将纸片进行折叠，使得点 E 的对应点 F 落在直线 DP 上(如图 3)，再将纸片展开铺平(如图 4）。
    

    （1）通过上述的折纸过程，图 2 的折痕 PA 与直线 BC 的位置关系是              
    如图 4，∠FPA = ∠BAD =           °，则 BC 与 K 的位置关系为            
    【深入探究】
    （2）李明同学在王芳同学折纸(图 4)中量得 ∠PFM = a，请你求出 ∠ABM 的大小(用含 α 的代数式表示）：
    【拓展延伸】
    （3）王伟同学改变直线 BC 和点 P 的位置，按照王芳同学的方法折叠得到 FK // BC 后(点 B，C，K，F 分别在线段 MN，NO，QR，RM 上)，再画出 ∠PFM 和 ∠ABM 的角平分线 FH、BI，FH、BI 所在的直线交于点 G，请求出 ∠FGB 的度数。

29. 枯干

31. SFDGSDFG

  

△

\sqrt \dfrac{1-2x}{3}

---

用 $$ $$ 单独成行，公式更美观；

\dfrac 分式字号更大，方程组更清晰；

变量 x + k 中间加空格可读性更好；

\le 替代 ≤，适配所有 LaTeX 编译器。

$\\begin{cases} 3x + 2y = 10 \\\\ x - y = 5 \\end{cases}$ $ \\begin{aligned} a &= b + c \\\\ &= d + e \\end{aligned} $

fdghsdf $ \\begin{cases} 2(x-1) \\le -5 \\\\ \\dfrac{1-2x}{3} < x + k \\end{cases} $

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ △

+,-, ×, ÷, =, ≠, ≤, ≥, <,> ∠ ° $x_0$ ⊥

且 $\\begin{cases} x = 2 \\\\ y = 0 \\end{cases}$ 是二元一次方程的解。

答案

下学期

1. （45，12）

2. 【答案】（1）∠AMG+∠CNG＝90°；（2）∠MGN+∠MPN＝90°；（3）∠AME＝50°．

3. xsfdghbsdfhgbfdgh.

4. sdfghsdfg.

5. D.

6. sfdgsdfg.

7. xfdbzdfg.

8. （1） 2024；（2）① $\\begin{cases}x = 0\\\\y = 2\\end{cases}$ ； $\\text{② }\\begin{cases}x = -\\frac{1}{3} \\\\y = \\frac{7}{3} \\end{cases}$ ；（3）-5 < t < $\frac{5}{2}$

9. B.

10. zsfdgzsdfg.

11. sxfdghsxdfg.

12. dfgzsdfg.

13. 【答案】4，9，35；k =-4，t =-1；m 的取值范围为 4≤ m ≤10