初中数学每周挑战题

初一：

第4周挑战答题

【概念学习】定义新运算:求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫做除方、比如：

• 类比有理数的乘方，
• 我们把写作，
• 读作“2的圈3次方”
• 写作，
• 读作“(-3)的圈4次方“，
• 一般地，把记作: ，
• 读作”a的圈n次方“，
• 特别地，规定:，

【初步探究】：

• 直接写出计算结果：
  =　　　　
• 若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有: 　　　填写序号
  A.任何非零数的圈2次方都等于1
  B.任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
  C.圈,次方等于它本身的数是1或-1
  D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数

【深入思考】

• 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？请把有理数a(a ≠ 0)的圈n(n≧ 3)次方写成幂的形式：
  　　　　
• 计算：

第7周挑战答题

我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如：数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离。如：表示5与（-2）之差的绝对值，实际上也可理解为5与（-2）两数在数轴上所对的两点之间的距离，如图，数轴上点A表示的数为（-5），点B表示的数为1。

【初步探究】：

• (1)线段AB的长度是：              ,
• 设点P在数轴上对应的数为x，若|x-2|=3，
  则x=                 ;
• (2)解答下面各小题：
  ①找出所有符合条件的整数，使得
  ，
  这样的整数是                   ；
  的最大值为                    ；
  ②由以上探索猜想：
  当x=                          时，
  的值最小，
  最小值为                                ；

【深入思考】

• (3)如上图，一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧。A居民区有居民人，B居民区有居民人，C居民区有居民人。现因物流需要,需要在该公路上建菜鸟驿站用于接收这个小区的快递，若快递的运输成本为/(千份·千米)，那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？

第8周挑战答题

定义：对于任意的有理数a，b(a≠b),a ⊕ b = (3|b-a|+3a+3b)。

（1）探究性质:

① 例:4 ⊕ 3 =             ;(- 3) ⊕ 2=              ；

② 你还可试几个看看，请用含a，b的式子表示出ab的一般规律:

当a>b时，a ⊕ b =                  ；当a<b时, a ⊕ b =              ；

(2) 性质应用:

① 运用发现的规律求[(-2024) ⊕ (-2023)] ⊕ [2023 ⊕ 2024]的值：

② 将-10,-9，-8,…，7,8,9这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出a ⊕ b，10组数代入后可求得10个a⊕ b的值，则这 10个值的和的最小值是                  ；

第9周 挑战答题

【阅读理解】点A、B在数轴上对应的数分别是a，b，且|a+2|+=0，A，B两点的中点表示的数为 ；当b>a时，A、B两点间的距离为AB=b-a

1. 求AB的长。
2. 点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x + 8 = x - 2的解，在数轴上是否存在点p，使PA+PB=PC ?，若存在，求出点p对应的数；若不存在，说明理由。
3. 点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒8个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒5个单位的速度向右运动，PQ分别为ME、0N的中点，求证：在运动过程中 的值不变，并求出这个值。

第10周挑战答题

(2023秋·亭湖区校级期中)如图①，在数轴上，点0为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是 -16、6、18、26，动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒4个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回，动点Q从点C出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向终点D运动，当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t(t>0)秒。

1. 点A与原点O的距离是          ；
2. 点P从点B向点C运动过程中，点P与原点0的距离是                (用含t的代数式表示)。
3. 点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点0的距离怡好等于点P与点Q的距离时，求t的值。
4. 在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点0和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形OPQ中恰好有两条边相等时，求t的值。

第11周挑战答题

(2025秋·岳麓区校级月考)距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度，已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p、q，P，Q两点之间的距离表示为PQ=|p-q|。例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3-1|=2；有理数5与 -2 对应的两点之间的距离为|5-(-2)|=7；解决问题：

已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足|a-1|+|3+b|=0，c=-2+b

1. 则a=          ；b=           ；c=         ；
2. 若点D在数轴上对应的数为X，当A、D间距离是B、C间距离的5倍时，请求出x的值；
3. 点M是AB的中点，0为原点，点N为数轴上一动点，当AN+MN+BN-ON取最小时，满足条件的点N对应的整数值共有                个。

（4）若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数 k，使得 5AC-kAB 的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？ 若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。

第 12 周 挑战答题

(2025秋·岳麓区校级月考)对有理数a，b，定义G(a，b)的计算方式为：当 a≤b 时，G(a，b)=a - b；当a>b时，G(a，b)=a + b。例如：

G(1，3)=1-3=-2；G(2，-1)=2+(-1)=1；

1. 填空：G(2，-3)=           ； G(-1，3)=                  ；G(a，a)=                ；
2. 已知x+y=20，且x > 10，求的值；
3. 设代数式M=G(1，a+b)+G(2，a+2b)+G(3，a+3b)+…+G(199，a+199b)，已知A，B是数轴上的两个点，分别表示有理数 a 和 b，且线段AB的长为4，若数a满足关系式，求M的值。

第13周挑战答题

阅读材料并回答问题:

对任意一个三位数M =abc(1≤a≤9，1≤b≤9，0≤c≤9，a，b，c为整数)，若其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N，并规定，我们称新数K(M)为M的“格致数”例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N=541，K(154)=541-154=387，所以154的“格致数”为387。

1. 填空：当M=253时，N=           ：当M=198时，K(198)=           ；
2. 求证：对任意的“万象数”M，其“格致数”K(M)都能被9整除；
3. 已知某“万象数”M的“格致数”为K(M)，K(M)既是72的倍数又是完全平方数，求出所有满足条件的“万象数”M(完全平方数：如0=02，1=12，4=22，9=32，16=42，…,我们称0，1，4,9,16……为完全平方数)

第14周挑战答题

“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”

1. 若方程与关于的方程互为“归一方程”，求m的值。
2. 若关于的方程+a=0与关于x的方程=互为“归一方程”，求a的值。
3. 若关于的两个方程 3x+2(m +1)=mn 与 mn-=m +互为“归一方程”求出所有满足条件的正整数m、n值.

第16周 挑战答题

已知一个关于的一元一次方程+=0 (，为常数)，若这个方程的解恰好为 =+或= 则称这个方程为“幸福方程”。例如：+4=0 的解为 =2，而+4=2，则方程+4=0 是“幸福方程”
(1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”;
①3x--=0 (         ) ②-7=0 (        ) ③-3x+1=- (         )
(2)若关于的方程 +m=0 是“幸福方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程 -b=0 是“幸福方程”，求关于y的方程 α(b-a)y+5=(-b+1)y 的解。

第17周 挑战答题

数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础。如图，在数轴上点 A表示数 a，点 B表示数 b，点 C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式(a+2)++9x+5 是关于 x 的二次多项式，一次项系数为 c。
(1) a =           ；b=             ；C=               ；
(2) 若将数轴折叠，使得点 A与点C重合，此时点B与某数表示的点重合，则此数为           ；
(3) 在数轴上剪下AC从 a 到 c 这条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段(如图)。若这三条线段的长度之比为2：2：5，则折痕处对应的点在数轴上所表示的数可能是多少？

第18周挑战答题

新定义：如图1，已知射线OP在MON的内部，图中共有3个角：MONMOP和PON，若其中有一个角的度数是另一个数的两倍，则称射线OP是MON的”立信线”。

(1) 一个角的平分线        这个角的”立信线”;（填”是”或”不是”）

(2) 如图2，若MON=60°，射线OP绕点O从ON位置开始。以每秒10° 的速度逆时针旋转，当OP与ON首次成180° 时停止旋转，设射线OP旋转的时间为t秒。求当t为何值时，射线OP是MON的”立信线”；

(3) 如图3，射线ON为POD的”立信线”，且DON =2NOP，射线OA、OB分别为MOP、NOD的平分线，请猜想AOB、NOP、MOD会有怎样的数量关系？并说明理由。

第19周挑战答题

已知直角三角板 OAB ( ∠AOB=90°，∠OAB=OBA=45° ） 和直角三角板OCD（∠D=90°,∠C=60°,∠COD=30°），如图1摆放，点O、A、C 在一条直线上，将直角三角板 OCD 绕点O逆时针方向转动n°，变化摆放如图2、3、4、5位置。

(1) 当OD平分∠AOB时，∠AOC=           。
(2) 如图4，当0°<n°<60°时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，则∠MON与∠C存在怎样的数量关系？请说明理由；
(3) 如图5，
① 当60°<n°<90°时，保持射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，则∠MON与∠C存在怎样的数量关系?请说明理由；
② 当90°<n°≤180°时，保持射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，请直接写出∠MON与∠C的数量关系。

+,-, ×, ÷, =, ≠, ≤, ≥, <,> ∠ °